zondag 18 januari 2015

De (inkomens)verdeling volgens de Lorenzcurve

Een belangrijk instrument waar veel ongelijkheidsmaatstaven uit af te leiden zijn is de Lorenz-curve, ontwikkeld door de Amerikaanse statisticus Max Lorenz in 1905. Hij zette voor een groep of land de inkomens op een rijtje te beginnen met het laagste inkomen en te eindigen met het hoogste inkomen. Bij ieder willekeurig inkomen bepaalde hij hoeveel mensen dat inkomen of een lager inkomen hadden, rekende het totale inkomen van deze groep uit en deelde dat vervolgens door het totale inkomen van die groep of dat land. Dus, neem als eenvoudig voorbeeld dat een economie bestaat uit 10 gezinnen die respectievelijk (van laag naar hoog) de volgende inkomens hebben: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 13, 15, 30. Het laagste inkomen is dus 2 en het hoogste inkomen is 30, het totale inkomen is 2+3+4+5+6+10+12+13+15+30 = 100. De eerste twee gezinnen hebben in totaal een inkomen van 5 (2+3). Zij vormen 20% van de bevolking (2 van de 10 gezinnen) en hebben een aandeel van 5% in het totale inkomen (5 van 100). Bij volkomen gelijkheid zou 20% van de bevolking natuurlijk ook 20% van het totale inkomen moeten hebben, maar het is met 5% dus heel wat minder (zie plaatje). Laten we dan uitrekenen wat het aandeel in het totale inkomen is van de armste helft van de bevolking. Het inkomen van de 5 armste gezinnen bedraagt 2+3+4+5+6 = 20. Hun aandeel in het totale inkomen van de economie is dus 20% (namelijk 20 van 100). Bij een volkomen gelijke verdeling zou dat 50% zijn (zie plaatje). In werkelijkheid zijn er natuurlijk veel meer inkomens dan de 10 die we hier verondersteld hebben. Op ieder punt op de horizontale lijn bevindt zich wel minstens iemand met een bepaald inkomen Y en kunnen we dus het aandeel in het totale inkomen bepalen van alle mensen met een inkomen dat lager is dan Y. Dat leidt dan tot de rode curve in het plaatje. Dat is de Lorenz curve. In het plaatje zien we dus dat als we een volkomen gelijke verdeling zouden hebben, we zouden verwachten dat alle inkomensaandelen op de blauwe lijn liggen. De diagonale blauwe lijn in het boven gegeven voorbeeld betekent een volledig gelijke inkomensverdeling. In werkelijkheid loopt de (rode) curve echter lager, wat betekent dat op ieder gegeven punt op de Lorenz curve het percentage van het totale nationale inkomen lager is dan het percentage mensen dat een inkomen tot dat niveau heeft. Bovendien kunnen we eenvoudig inzien dat hoe lager de rode curve ligt, des te ongelijker de inkomens verdeeld zijn. Het ligt dan voor de hand dat we de oppervlakte tussen de blauwe lijn en de rode lijn als een maat voor ongelijkheid nemen. Als de blauwe curve en de rode Lorenz curve samenvallen (gelijke inkomensverdeling), dan is de oppervlakte nul. Hoe lager de rode curve ligt, des te groter het oppervlak tussen de rode curve en de blauwe lijn en des te ongelijker de inkomensverdeling. Dit is de basis voor de Gini-index als ongelijkheidsmaatstaf. Die is namelijk gelijk aan de verhouding tussen het oppervlak tussen de diagonaal en de Lorenz-curve, en het totale oppervlak onder de diagonaal. Die waarde ligt steeds tussen 0 en 1, waarbij 0 staat voor een perfect gelijke verdeling, en 1 voor een perfect ongelijke verdeling. Prachtig! Maar waarom is Piketty dan toch niet zo blij met de Gini-index? 

Geen opmerkingen:

Een reactie plaatsen